סטודנטים יקרים לפניכם תרגילים בקורס ספר מבוא לסטטיסטיקה והסתברות א'. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ בנושא זה, המועבר ברשת האינטרנט.On-lne הקורס באתר כולל פתרונות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונוש הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי, לדוגמה לחצו כאן. את הקורס בנה מר ברק קנדל, מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שונים ובעל ניסיון עתיר בהוראת המקצוע. אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה, סובלים מלקויות למידה, רוצים להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית, אנחנו מזמינים אתכם לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין, היכנסו עכשיו לאתר.www.gool.co.l אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות צוות האתר GooL
פרק - סטטיסטיקה תיאורית תוכן - הקדמה 3... פרק - סטטיסטיקה תיאורית- הצגהשל נתונים... 6 פרק 3 - סטטיסטיקה תיאורית - סכימה 4... פרק 4 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדימיקוםמרכזי...7 פרק 5 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדי פיזור: הטווח, השונות וסטייתהתקן... 7 פרק 6 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדיפיזור- טווח פרק 7 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדימיקוםיחסי פרק 8 - סטטיסטיקה תיאורית- מדדימיקוםיחסי- אחוזונים בין- רבעוני...3 - ציוןתקן 35... במחלקות...38 פרק 9 - מדדיקשר- מדדהקשרהלינארי (פירסון)... 43 פרק 0 - מדדיקשר- רגרסיה ליניארית... 5 פרק - התפלגויות רציפות מיוחדות - התפלגות נורמלית...54 פרק - התפלגות הדגימה...63 פרק 3 - אמידה נקודתית... 70 פרק 4 - רווחי סמך...83 פרק 5 - טעויות ועוצמהבבדיקת השערות פרק 6 - בדיקת השערות כללית...90 - מבחנים פרמטרים...93
3 פרק - סטטיסטיקה תיאורית - הקדמה רקע: בסטטיסטיקה תיאורית אנו חוקרים קבוצה מסוימת. הקבוצה יכולה להיות קבוצת ילדים בגן, קבוצת מניות בתיק, כלל התושבים בעיר מסוימת וכולי. בין ישות לישות בקבוצה ישנם גורמים היכולים לקבל מספר ערכים. גורמים אלה נקראים משתנים. למשל, בין מניה למניה בתיק משתנה התשואה היומית של המניה, הוותק של המניה, תחום המניה וכדומה. בסטטיסטיקה תיאורית אנחנו נתבונן בקבוצה מסוימת ובתוך הקבוצה הזו נאסוף נתונים לגבי משתנה מסוים ונלמד להציג את הנתונים ולנתח אותם מכל מיני אספקטים. דוגמה: בתיק מניות 0 מניות. מנהל התיק פרסם את התשואה של כל מניה בשנת. 0 מי הקבוצה הנחקרת? מה גודל הקבוצה? מה המשתנה הנחקר?
4 סוגי משתנים: כמותי איכותי רציף בדיד משתנה איכותי הוא משתנה שלערכיו אין משמעות של יותר או פחות, אין עניין כמותי לערכים המתקבלים. כמו : מקום מגורים של אדם (רעננה, תל אביב, אשדוד..) מין האדם (זכר, נקבה) מצב משפחתי ) רווק, נשוי, גרוש,אלמן) משתנה כמותי הוא משתנה שערכיו הם מספרים להם יש משמעות כמותית כמו : גובה אדם בס"מ, ציון בבחינה וכדומה. את המשתנה הכמותי נסווג לשני סוגים: משתנה בדיד : משתנה שערכיו מתקבלים מתוך סידרה של ערכים אפשריים.כמו: מספר ילדים למשפחה (,,3..) ציון בבחינה ) מ 0 ועד 00 הערה: בקפיצות של ( משתנה רציף: משתנה שערכיו מתקבלים מתוך אינסוף ערכים בתחום מסוים, הערכים מתקבלים ברצף וללא קפיצות של ערכים. כמו: גובה בס"מ אם למשל, הגובה הנמוך ביותר הוא 50 ועד 90 ס"מ בקבוצה הגבהים הם ברצף. גם בין 60 ל 6 ס"מ יש רצף אינסופי של ערכים אפשריים לגובה (60.33 ס"מ הוא גם גובה אפשרי ( משקל בק"ג, מהירות בקמ"ש וכולי.
5 תרגילים: ג. ד. סווג את המשתנים הבאים לפי: איכותי / כמותי בדיד מספר הדירות בבניין. גיל אדם בשנים. אחוז האבטלה בעיר. מקצוע לימוד מועדף. / כמותי רציף: להלן התפלגות מספר האיחורים לעבודה בחודש של העובדים בחברת "סטאר". בחברה 00 עובדים. מספר האיחורים 0 מספר העובדים 7 3 85 50 5 3 4.. מהו המשתנה הנחקר כאן? האם מדובר במשתנה איכותי או כמותי? אם הוא כמותי האם הוא בדיד או רציף? לפניכם רשימה של משתנים כמותיים. ציין ליד כל משתנה אם הוא רציף או בדיד. 3. שכר עובד בש"ח. ציון בחינת בגרות. תוצאה בהטלת קובייה. ג. מהירות ריצה בתחרות. ד. שיעור התמיכה בממשלה. ה.
6 פרק - סטטיסטיקה תיאורית - הצגה של נתונים רקע: דרכים להצגת נתונים שנאספו: רשימה של תצפיות: התצפית היא הערך שנצפה עבור ישות מסוימת בקבוצה. רושמים את התצפיות שהתקבלו כרשומה, יעיל שיש מספר מועט של תצפיות. ההצגה הזו רלבנטית לכל סוגי המשתנים. למשל, להלן מספר החדרים בבניין בן 5 דירות : 3 4 3 5 4 טבלת שכיחויות בדידה: f (X ) שםהמשתנה - X שכיחות שכיחות יחסית באחוזים f 00 N f X f 00 N f X f 3 00 N f 3 X 3 f k N 00 f k X k 00% N = k = f סה"כ רושמים את התצפיות בטבלה שבה עמודה אחת מבטאת את ערכי המשתנה והשנייה את השכיחות. יעיל עבור משתנה איכותי וכמותי בדיד וכשיש מספר רב של תצפיות. לא יעיל למשתנה כמותי רציף.
7 למשל, להלן התפלגות הציונים בכיתה מסוימת: f n F הציון -X מספר התלמידים השכיחות- f 0.08=/5 5 0.6=4/5 6 4 6 0.3=8/5 4 8 7 0.=5/5 9 5 8 0.6=4/5 3 4 9 0.08=/5 5 0 שכיחות מצטברת צבירה של השכיחויות: או שוות לערך. - השכיחות המצטברת נותנת כמה תצפיות קטנות F שכיחות יחסית (פרופורציה) השכיחות מחולקת לכמות התצפיות הכללי : מהתצפיות בקבוצה שוות לערך. - איזה חלק f n ג. טבלת שכיחויות במחלקות: משתמשים שהמשתנה כמותי רציף או כאשר יש מספר ערכים רב במשתנה הבדיד וטבלת שכיחויות תהיה ארוכה מידי. למשל, נתנו לקבוצת ילדים לבצע משימה מסוימת ובדקו את התפלגות זמן ביצוע המשימה בדקות. להלן ההתפלגות שהתקבלה: זמן בדקות 0.5-3.5 3.5-9.5 9.5-9.5 9.5-9.5 מספר הילדים 0 8 4 8
8 ד. דיאגרמת עוגה: זהו התיאור הגרפי של משתנה איכותי. בדיאגראמת עוגה כל ערך במשתנה מקבל "נתח" יחסי מהעוגה. הנתח בעוגה פרופורציוני לשכיחות היחסית של ערך המשתנה בנתונים. ה. דיאגרמת מקלות: הציר האופקי הוא הציר של המשתנה הציר האנכי של השכיחות הגובה של המקל מעיד על השכיחות. רלבנטי למשתנה כמותי בדיד. לא נהוג להשתמש בתיאור למשתנה איכותי וכמו כן לא למשתנה כמותי רציף. כמו כן בסולמות מדידה עבור משתנה מסולם סדר. התפלגות הציונים מספר התלמידים - f 9 8 7 6 5 4 3 0 5 6 7 8 9 0 הציון
9 ו. היסטוגרמה: ההיסטוגרמה היא הדרך הגרפית כדי לתאר טבלת שכיחויות במחלקות. רלבנטית למשתנה כמותי רציף. בהיסטוגרמה ציר האופקי הוא הציר של המשתנה וציר האנכי הוא הציר של הצפיפות. הצפיפות מחושבת בכל מחלקה על ידי חלוקת השכיחות ברוחב של כל המחלקה והיא נותנת את מספר התצפיות הממוצע בכל מחלקה ליחדה. אם המחלקות הן שוות ברוחב, ניתן לשרטט את ההיסטוגרמה לפי השכיחות ואין צורך בצפיפות. רוחב אמצע שכיחות מצטברת צפיפות X 6.6667 0 0 3 0.5-3.5 3 38 8 6.5 6 3.5-9.5.4 5 4 4.5 0 9.5-9.5 0.8 60 8 4.5 0 9.5-9.5 פוליגון- מצולעון: אם נחבר את אמצע קצה כל מלבן בקווים ישרים. נותן מראה חזותי לצורה של התפלגות המשתנה.
0 צורות התפלגות נפוצות התפלגות סימטרית פעמונית- רוב התצפיות במרכז וככל שנתרחק מהמרכז יהיו פחות תצפיות באופן סימטרי. למשל,ציוני.IQ ישנן התפלגויות סימטריות שאינן פעמוניות: התפלגות אסימטרית ימנית ) חיובית) רוב התצפיות מקבלות ערכים נמוכים ויש מיעוט הולך וקטן של תצפיות שמקבלות ערכים גבוהים קיצוניים. למשל,שכר במשק. התפלגות א-סימטרית ימנית או חיובית Mo Md X התפלגות אסימטרית שמאלית ) שלילית) רוב התצפיות מקבלות ערכים גבוהים ויש מיעוט הולך וקטן של תצפיות שמקבלות ערכים נמוכים קיצוניים. למשל, אורך חיים. התפלגות א-סימטרית שמאלית או שלילית X Md Mo
תרגילים:. בסקר צפייה בטלוויזיה התקבלו התוצאות הבאות: 5 צפו בערוץ הראשון, 5 צפו בערוץ 0, 75 צפו בערוץ השני, 50 צפו באחד מערוצי הכבלים ו - 5 לא צפו בטלוויזיה בזמן הסקר. רשמו את טבלת השכיחות ואת השכיחות היחסית. תארו את הנתונים באופן גרפי.. להלן נתונים על התפלגות המקצוע המועדף של תלמידי שכבה ו' בבית הספר "מעוף": מספר התלמידים 44 0 6 המקצוע מתמטיקה תנ"ך אנגלית היסטוריה מהו המשתנה הנחקר? מהי פרופורציית התלמידים שמעדיפים תנ"ך? 3. להלן התפלגות ההשכלה במקום עבודה מסוים: מספר העובדים 60 0 0 השכלה נמוכה תיכונית אקדמאית מהו המשתנה הנחקר? מאיזה סולם הוא? תארו את הנתונים באופן גרפי. 4. להלן רשימת הציונים של 0 תלמידים שנבחנו במבחן הבנת הנקרא: 7,6,8,9,0,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6 מהו המשתנה? האם הוא בדיד או רציף? תאר את הרשימה בטבלת שכיחויות. ג. הוסף שכיחויות יחסיות לטבלה. ד. תאר את הנתונים באופן גרפי.
5. להלן היסטוגרמה המתארת את התפלגות הגבהים בס"מ של קבוצה מסוימת: צפיפות 3 55 60 65 70 80 90 גובה מהו המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף? תאר את הנתונים בטבלת שכיחויות במחלקות. ג. הוסף שכיחות יחסית לטבלה. ד. הוסף את הצפיפות של כל מחלקה לטבלה. ה. מהי צורת ההתפלגות של הגבהים? 6. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: משקל 40-45 45-50 50-60 60-65 65-70 מספר מקרים 0 0 30 0 0 תאר את ההתפלגות באופן גרפי. מה ניתן להגיד על צורת ההתפלגות?
3 7. להלן גיל המטופלים של ד"ר שוורץ בשנים : קנה מידה: 8 מטופלים= 0 0 30 40 50 גיל המטופל ג. ד. מה המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף? מהי הקבוצה הנחקרת? תרגמו את ההסיטוגרמה לטבלת שכיחות. מהי הפרופורציה של המטופלים של ד"ר שוורץ בגילאים 0-30?
4 פרק - 3 סטטיסטיקה תיאורית - סכימה רקע: n = X בסטטיסטיקה ישנה צורת רישום מקובלת כדי לרשום סכום של תצפיות: נסביר את צורת הרישום על ידי הדוגמה הבאה: X 3 4 5 5 0 3
5 תרגילים: בבניין 5 דירות, לכל דירה רשמו את מספר החדרים שיש בדירה (X) ומספר הנפשות החיות בדירה (Y).. Y 3 X 3 4 3 מספר דירה 3 4 5 חשבו: 3 = 5 = 4 = 4 ( X ) = X Y X X X Y ( X ) ( Y )
6. נתון לוח ערכי המשתנים x ו: y כאשר: 6,,,= x y 3 0 3 4 0 4-5 -5 6 4 ונתונים הקבועים: =a 5=b חשבו את הנוסחאות הבאות: 6 = 4 = 6 y = 6 a x y ( x + y ) = 6 = x + a ג. ד. ה. 3. קבע לכל זהות אם היא נכונה: n n bx = b X = = n = a= a n n n X = X = = ( ) ג. (60 (פתרון : 0 = ( X 4) חשב : 0 = 0 = X X = 8 0 4. נתון: = 6 4 0
7 פרק - 4 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי מיקום מרכזי רקע: המטרה במדדי המיקום המרכזי למדוד את מרכז ההתפלגות של התצפיות. השכיח MODE השכיח הוא הערך הנפוץ ביותר בהתפלגות. ברשימה : הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. 7 9 4 8 4 0 6 בטבלת שכיחויות בדידה : הערך שהשכיחות שלו היא הגבוהה ביותר. f(x) 00 75 5 5 5 # תכניות החיסכון 0 3 4 בדיאגרמת מקלות : שיעור ה- X של המקל הגבוה ביותר. התפלגות הציונים 0 מספר התלמידים -f 8 6 4 0 5 6 7 8 9 0 הציון
8 בעוגה: הערך של הפלח הגדול ביותר. בטבלת שכיחויות במחלקות: אמצע המחלקה עם הצפיפות הגבוהה ביותר. התפלגות הציונים בכיתה. f(x) 0 0 8 5 5 X 0-60 60-70 70-80 80-90 90-00 בהיסטוגרמה : שיעור ה- X של אמצע המחלקה הגבוהה ביותר. להלן גיל המטופלים של ד"ר שוורץ בשנים : =8 0 30 40 50 60 כללי: יתכן שלהתפלגות יותר משכיח אחד. השכיח הוא מדד הרלבנטי לכל סוגי המשתנים. גיל המטופל
9 אמצע תחום (טווח) MIDRANGE mn max הממוצע בין התצפית הגבוהה ביותר לתצפית הנמוכה ביותר. X MR= + X
0 החציון - MEDIAN החציון הוא ערך שמחצית מהתצפיות קטנות או שוות לו ומחצית מהתצפיות גדולות או שוות לו. ברשימה: נסדר את התצפיות בסדר עולה. אם יש מספר אי זוגי של איברים מקומו של החציון יהיה התצפית שמיקומה : אם יש מספר זוגי של איברים החציון יהיה הממוצע של האיבר ה- כלומר שיש מספר אי-זוגי של תצפיות החציון יהיה : ושיש מספר זוגי של תצפיות החציון יהיה : n+ n md = X n + X md = n + X n + בטבלת שכיחויות בדידה: נעשה תהליך דומה אך נעזר בשכיחות המצטברת. דיאגרמת מקלות: נמיר לטבלת שכיחויות בדידה במטרה למצוא את החציון. בטבלת שכיחויות במחלקות: שלב א : נימצא את המחלקה החציונית שמיקומה יהיה שלב ב: נציב בנוסחה הבאה : n. והאיבר ה- + n Md = L + 0 n F( xm ) ( L L0 ) f ( x ) m - )F xm שכיחות מצטברת של מחלקה אחת לפני המחלקה החציונית. ) - f ( x m ) השכיחות של המחלקה החציונית. -גבול התחתון של המחלקה. -גבול העליון של המחלקה. היסטוגרמה: החציון הוא הערך על ציר ה- X שמחלק את ההיסטוגרמה לשני חלקים שווים בשטח. כללי: החציון אינו רלבנטי למשתנה מסולם שמי ולא רלבנטי למשתנה איכותי. הממוצע: הנו מרכז הכובד של ההתפלגות. ברשימה : x = n = n x בטבלת שכיחויות : x = x f n במחלקות : נשתמש באותה נוסחה רק נתייחס לאמצע המחלקה בתור ה X. הממוצע הזה יהיה ממוצע מקור כללי: הממוצע רלבנטי רק למשתנה כמותי.
מדדי המיקום המרכזי בהתפלגויות המיוחדות: בהתפלגות סימטרית פעמונית כל מדדי המרכז שווים זה לזה: התפלגות סימטרית x Md Mo בהתפלגות סימטרית השכיח לא חייב להיות במרכז: התפלגותU Mo X Mo Md בהתפלגות אסימטרית התפלגות א-סימטרית ימנית או חיובית התפלגות א-סימטרית שמאלית או שלילית X Md Mo Mo Md X
תרגילים: להלן רשימת הציונים של 0 תלמידים שנבחנו במבחן הבנת הנקרא: 7,6,8,9,0,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6 חשב את החציון, השכיח, והממוצע של הציונים... בדקו את מספר החדרים לדירה בבניין בן 5 דירות והתקבל ממוצע 3.8. 4,3,4,5 לגבי 4 דירות נמצא מספר חדרים : כמה חדרים יש בדירה החמישית? מהו השכיח ומהו החציון? 3. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה שנספרו עבור כל משפחה בישוב מסוים: מספר משפחות מספר מקלטים 0 3 4 8 8 0 ג. ד. חשב את הממוצע, החציון והשכיח של ההתפלגות. הסבר ללא חישוב כיצד כל מדד שחישבת בסעיף א' היה משתנה אם חלק מהמשפחות (לא כולן) שלא היה להם עד היום טלוויזיה היו רוכשים מקלט אחד. 4. להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה בישוב "הגורן" 5 4 3 מספר מכוניות למשפחה 55 40 0 50 65 שכיחות כמה משפחות יש בישוב? מה אחוז המשפחות בישוב עם לכל היותר מכוניות? חשבו את הממוצע, החציון והשכיח. ג. הקפידו להסביר לגבי כל סעיף מה משמעות התוצאה שקיבלתם!
3 5. מורה לימד כיתות, הוא תיאר באותה מערכת צירים את התפלגות הציונים בכל כיתה. בחר בתשובה הנכונה: בכיתה השכיח גבוה יותר מכיתה. ג. ד. בכיתה השכיח גבוה יותר מכיתה. בשתי הכיתות אותו שכיח. לא ניתן לדעת באיזו כיתה השכיח גדול יותר. 6. ביישוב מסוים בדקו לכל משפחה את מספר הטלוויזיות שיש לה בבית. ביישוב גרות 00 משפחות. בממוצע יש למשפחה.5 טלוויזיות. מספר טלוויזיות מספר משפחות 8 0 6 3 השלימו את הטבלה. ג. מהו השכיח, אמצע טווח והחציון. חלק מהמשפחות להן הייתה טלוויזיה אחת בדיוק הוציאו את הטלוויזיה מביתם, כיצד כל מדד ישתנה (יגדל, יקטן או לא ישתנה) הסבירו ללא חישו
4 7. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: משקל 40-45 45-50 50-60 60-65 65-70 מספר מקרים 0 0 30 0 0 מה הממוצע והחציון של ההתפלגות? 8. להלן התפלגות הגבהים בס"מ בקבוצה מסוימת. שכיחות 30 40 60 70 40 גובה בס"מ 50-60 60-70 70-75 75-80 80-90 חשב את הממוצע, החציון והשכיח של הגבהים בקבוצה זו.
5 9. בפקולטה מסוימת בדקו לסטודנטים העובדים בה את השכר לשעת עבודה. להלן התוצאות: צפיפות 5 4 3 0 30 40 50 60 00 מצא את השכיח בהתפלגות. ג. ד. מצא את החציון בהתפלגות. הסבירו ללא חישוב האם הממוצע גדול/קטן /שווה לחציון. הסתבר שיש להוציא מספר תלמידים במחלקה בין 0-30 שקלים כיצד הדבר ישפיע על הממוצע, החיצון והשכיח? הסבירו ללא חישו
6 פתרונות: שאלה : החציון: 7 השכיח: 6 הממוצע: 6.9 שאלה : 3 שכיח: 3,4 שאלה 3: הממוצע:.7 החציון :.5 השכיח: חציון: 4 הממוצע יגדל ויתר המדדים לא ישתנו. שאלה 4: 630 34.3% ג. שכיח וחציון: 3 ממוצע:.95 שאלה 5 : תשובה :ב : 6 שאלה ב חציון: שאלה 7: שכיח: חציון וממוצע :55 אמצע טווח :.5
7 פרק - 5 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי פיזור: הטווח, השונות וסטיית התקן רקע: המטרה : למדוד את הפיזור של הנתונים כלומר כמה הם רחוקים זה מזה ושונים זה מזה. R= X X max mn הטווח\תחום :RANGE ההפרש בין התצפית הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר : שונות וסטיית תקן: השונות היא ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע וסטיית התקן היא שורש של השונות. s n n ( x x) x = = x = = x s עבור סדרת נתונים: n n דוגמה : נחשב את השונות של סדרת המספרים הבאה : 5,4,9 ( x x) f x f x = = x n n עבור טבלת שכיחויות: להלן התפלגות הציונים בכיתה מסוימת בה ממוצע הציונים הוא 7.44 s x 430 f 50 44 39 30 34 00 הציון -X השכיחות- f x f ( x) x x x x 4 8 5 4 5 6 7 8 9 0 סה"כ 430 = = 7.44 =.8464 n 5 s= s =.8464 =.3588 כשיש מחלקות נעזר באמצע המחלקה כדי לחשב את השונות.
8 תרגילים:. להלן רשימת הציונים של 0 תלמידים שנבחנו במבחן הבנת הנקרא: 7,6,8,9,0,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6 חשבו את השונות, סטיית התקן והטווח של הציונים.. להלן התפלגות מספר המכוניות למשפחה בישוב "הגורן" 5 4 3 מספר מכוניות למשפחה 55 40 0 50 65 שכיחות חשבו סטיית התקן. חשבו את הטווח של הנתונים. הקפידו להסביר לגבי כל סעיף מה משמעות התוצאה שקיבלתם! בחברה העוסקת בטלמרקטינג בדקו עבור כל עובד את מספר שנות הוותק שלו. התקבל שממוצע שנות הוותק הוא 4 שנים וסטיית התקן היא שנתיים. האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתנה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשנה כאשר יתווספו שני עובדים עם וותק של 4 שנים להתפלגות?.3 האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתנה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשנה כאשר יתווספו שני עובדים אשר אחד עם וותק של 0 שנים והשני עם וותק של 8 שנים להתפלגות? 4. נתונה רשימה של 5 תצפיות, אך רק עבור 4 מהן נרשמו הסטיות שלהן מהממוצע: -, 3,,. חשב את השונות של חמש התצפיות.
9 5. בשכונה בדקו בכל דירה את מספר החדרים לדירה. בשכונה 00 דירות. פרופורציה מספר חדרים 0. 0. 0.4 3 0.5 4 5 מה הממוצע של מספר החדרים לשכונה בדירה? חשבו את סטיית התקן של מספר החדרים לדירה. ג. חלק מבעלי הדירות בנות החדרים הפכו את דירתם לדירת חדר. כיצד הדבר ישפיע (יקטין, יגדל, לא ישנה) כל מדד שחישבתם בסעיפים הקודמים. 6. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: מספר מקרים משקל 0 40-45 0 45-50 30 50-60 0 60-65 0 65-70 מהי סטיית התקן של התפלגות המשקל?
30 7. להלן התפלגות הציונים במבחן אינטליגנציה: = נבחנים 70 80 90 00 0 0 30 X הציון ג. מה הממוצע ומה החציון של ההתפלגות? חשבו את סטיית התקן של הציונים. מסתבר שיש להוסיף 0 תצפיות לכל אחת משתי המחלקות 90-00 ו- 00-0. כיצד הדבר ישתנה את כל אחד מהמדדים של הסעיפים הקודמים?
3 פתרונות : שאלה : השונות :.9 סטיית תקן :.48 טווח : 6 שאלה : סטיית תקן :.06 טווח 4 שאלה 3: ממוצע לא ישתנה, סטיית התקן תקטן. ממוצע לא ישתנה, סטיית התקן תגדל. שאלה 4: 0.8 שאלה 5: 3.05.6 שאלה 6: 7.73 שאלה : 7 00.96
3 פרק - 6 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי פיזור- טווח בין- רבעוני רקע: הטווח הבין-רבעוני נותן את הטווח בין הרבעונים בו נמצאים 50% מהתצפיות המרכזיות. שלבים במציאת טווח בין-רבעוני במחלקות: F 56 06 54 90 00 L L רוחב 0 מספר שנות ותק 0.5 4.5 4.5 9.5 9.5.5.5 4.5 4.5 9.5 f מספר עובדים (שכיחות) 56 50 48 36 0 4 5 3 5 Q = L + 0 שלב א : נימצא את הרבעון התחתון ) האחוזון ה 5 ( והרבעון העליון ) האחוזון ה- ). 75 n 4 3n 4 n F( xm ) 4 ( L L0 ) ; Q3 = L0 + f ( x ) m מיקום הרבעון התחתון יהיה: מיקום הרבעון העליון יהיה: נוסחאות הרבעונים יהיו: 3n F( xm ) 4 ( L L0 ) f ( x ) m IQR= Q Q 3 שלב ב : נחסר את הרבעונים:
33 תרגילים:. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: משקל 40-45 45-50 50-60 60-65 65-70 מספר מקרים 0 0 30 0 0 מצא את הטווח הבין-רבעוני.. להלן היסטוגרמה המתארת את התפלגות הגבהים בס"מ של קבוצה מסוימת: אנשים 5= 55 60 65 70 80 90 גובה מצא את הטווח הבין-רבעוני.
34 פתרונות: שאלה : 3.75 שאלה : 3.33
35 פרק - 7 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי מיקום יחסי - ציון תקן רקע: המטרה למדוד איך תצפית ממוקמות יחסית לשאר התצפיות בהתפלגות. ציון תקן: Z = X S X הנוסחה לציון תקן של תצפית היא : ציון התקן נותן כמה סטיות תקן סוטה התצפית מהממוצע. כלומר, ציון התקן מעיד על כמה סטיות תקן התצפית מעל או מתחת לממוצע. ציון תקן חיובי אומר שהתצפית מעל הממוצע. ציון תקן שלילי אומר שהתצפית מתחת לממוצע. ציון תקן אפס אומר שהתצפית בדיוק בממוצע. דוגמה : ) פתרון בהקלטה ( במקום עבודה מסוים ממוצע המשכורות 8 אלפי עם סטית תקן של אלפי באותו מקום עבודה ההשכלה הממוצעת של העובדים הנה 4 שנים עם סטית תקן של.5 שנים. ערן מרוויח במקום עבודה זה אלף והשכלתו 6 שנים. מה ערן יותר באופן יחסי משכיל או משתכר?
36 תרגילים תלמידי כיתה ח' ניגשו למבחן בלשון ולמבחן במתמטיקה. להלן התוצאות שהתקבלו:. המקצוע ממוצע סטיית תקן 6 74 80 לשון מתמטיקה עודד קיבל: 68 בלשון ו 70 במתמטיקה. באיזה מקצוע עודד טוב יותר באופן יחסי לשכבה שלו? איזה ציון עודד צריך לקבל במתמטיקה כדי שיהיה שקול לציונו בלשון? במפעל לייצור מצברים לרכב בדקו במשך 40 ימים את התפוקה היומית ) מספר מצברים במאות) ואת מספר הפועלים שעבדו באותו היום. להלן טבלה המסכמת את האינפורמציה שנאספה על שני המשתנים: ממוצע סטיית תקן תפוקה 48 מספר פועלים 5 0. באחד הימים מתוך כלל הימים שנבדקו התפוקה הייתה 50 מאות מצברים ובאותו היום עבדו 3 פועלים. מה יותר חריג באותו היום יחסית לשאר הימים שנבדקו נתוני התפוקה או כמות הפועלים? בחר בתשובה הנכונה. התפוקה. כמות הפועלים. ג. חריגים באותה מידה. ד. חסרים נתונים כדי לדעת זאת. 3. הגובה הממוצע של המתגייסים לצבא הוא 75 סנטימטר עם סטיית תקן 0 סנטימטר. המשקל הממוצע 66 ק"ג עם סטיית תקן 8 ק"ג. ערן התגייס, גובהו 80 ס"מ ומשקלו 59 ק"ג. במה ערן חריג יותר ביחס לשאר המתגייסים- גובהו או משקלו? כמה ערן אמור לשקול כדי שמשקלו יהיה שקול לגובהו?
37 פתרונות: שאלה : לשון 7 שאלה : תשובה ב שאלה 3: משקל 70
38 פרק - 8 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי מיקום יחסי - אחוזונים במחלקות רקע: האחוזון (המאון ( ה- p הוא הערך בנתונים המחלק את הנתונים בצורה כזאת שעד אליו יש % p מהנתונים. מסמנים את האחוזון ה- X. p - בp למשל, המאון ה- 5 הוא האחוזון ה- 5 או הרבעון התחתון : ערך ש- רבע מהתצפיות קטנות np. 00 X 0.5 ממנו והשאר גבוהות ממנו. מסומן : מציאת מאון במחלקות: שלב א: נימצא את המחלקה הרלבנטית שמיקומה יהיה n p F( xm ) x = L + 00 ( L L ) p 0 0 f ( xm) שלב ב: נציב בנוסחה הבאה : - )F xm שכיחות מצטברת של מחלקה אחת לפני המחלקה הרלבנטית. ) - f ( x m השכיחות של המחלקה הרלבנטית. ) גבול התחתון של המחלקה. גבול העליון של המחלקה. - - אם רוצים לחלץ את אחוז התצפיות שמתחת לערך מסוים נשתמש בנוסחה הבאה: ( x L0 ) 00 Px = f ( xm) + F( xm ) ( L L0 ) n דוגמה: (פתרון בהקלטה)
39 להלן התפלגות השכר של עובדים בחברה מסוימת: שכר בש"ח 4000-6000 6000-0000 0000-5000 5000-0000 0000-40000 f(x) 40 8 60 54 8 מצאו את המאון ה- 40. מהו אחוז העובדים שמשתכרים מתחת ל 5,000?
40 תרגילים:. להלן התפלגות השכר (באלפי שקלים) בחברה: שכיחות מצטברת שכר X 48 6-0 00 0-5 0 5-0 3 0-30 36 30-60 ג. ד. ה. ו. חשבו את המאון ה- 60. מהו העשירון העליון? 0% מהמשכורות הגבוהות ביותר הן משכורות של הבכירים, מהי המשכורת המינימאלית לבכיר? מה אחוז האנשים שמשתכרים מתחת ל- 7000? איזה אחוז מהעובדים משתכרים מעל ל 5,000? איזה אחוז מהעובדים משתכרים בין 7000 ל- 5,000?. למבחן ניגשו 400 נבחנים. נתון שהעשירון התחתון הוא הציון 60. הרבעון העליון הוא הציון 80. כמו כן ההתפלגות של הציונים היא סימטרית. מלאו את השכיחות החסרות. ציון - X 50-60 60-70 70-80 80-90 90-00 f ( X )
4 3. להלן היסטוגרמה המתארת את התפלגות הגבהים בס"מ של קבוצה מסוימת: אנשים 5= 55 60 65 70 80 90 העשירון התחתון. האחוזון ה- 30. ג. הגובה ש- 0% מהתצפית גדולות ממנו. ד. את אחוז התצפיות מתחת לגובה 58 ס"מ. ה. את אחוז התצפיות מעל לגובה 85 ס"מ. ו. את אחוז התצפיות בין גובה 70 ס"מ ל- 85 ס"מ.
4 פתרונות: שאלה : 3.3 ג. 7. ד. 8.8% ה. 7.36% ו. 83.8% שאלה 3: 6.5 70 ג. 83.33 ד. 3% ה. 5% ו. ת 55%
43 פרק - 9 מדדי קשר - מדד הקשר הלינארי (פירסון) רקע: המטרה היא לבדוק האם קיים קשר (קורלציה, מתאם) של קו ישר בין שני משתנים כמותיים. מבחינת סולמות המדידה קשר בין סולמות רווחים ומנה. בדרך כלל, X הוא המשתנה המסביר (הבלתי תלוי) ו Y הוא המשתנה המוסבר (התלוי).למשל, נרצה להסביר כיצד השכלה של אדם הנמדדת בשנות לימוד X מסבירה את ההכנסה שלו Y. במקרה זה שנות ההשכלה זהו המשתנה המסביר ) או הבלתי תלוי ( ואנחנו מעוניינים לבדוק כיצד שינויים בשנות ההשכלה של אדם יכולים להסביר את השינויים שלו בהכנסה, ולכן רמת ההכנסה זהו המשתנה המוסבר התלוי במשתנה המסביר אותו. בשלב הראשון, נהוג לשרטט דיאגרמת פיזור. זו דיאגרמה שנותנת אינדיקציה ויזואלית על טיב הקשר בין שני המשתנים. למשל, בבניין של 5 דירות בדקו את הנתונים הבאים: X - מס' חדרים בדירה. Y- מס' נפשות הגרות בדירה. להלן התוצאות שהתקבלו: מס' דירה 3 4 5 X 3 4 3 5 Y 3 3 4 נשרטט מנתונים הללו דיאגרמת פיזור :
44 נתבונן בכמה מקרים של דיאגרמות פיזור וננתח אותן :
45 בשלב השני, מחשבים את מקדם המתאם ) מדד הקשר ( שבודק עד כמה קיים קשר לינארי בין שני המשתנים. המדד ) ניקרא גם מדד הקשר של פירסון) מכמת את מה שניראה בשלב הראשון רק בעין. המדד בודק את כיוון הקשר ) חיובי או שלילי). ואת עוצמת הקשר ) חלש עד חזק). מקדם מתאם זה מקבל ערכים בין - ל. מקדם מתאם -. y= bx+ הנוסחה : a או אומר שקיים קשר לינארי מוחלט ומלא בין המשתנים שניתן לבטאו על ידי מתאם חיובי מלא ) מקדם מתאם מתאם שלילי מלא אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע ) אומר שקיים קשר לנארי מלא בו השיפוע b יהיה חיובי ואילו b שלילי ) מקדם מתאם -). מתאם חיובי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לעלות בערכו אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט ואילו מתאם שלילי חלקי אומר שככל שמשתנה אחד עולה לשני יש נטייה לרדת אבל לא קיימת נוסחה לינארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט. ככל שערך מקדם המתאם קרוב לאפס נאמר שעוצמת הקשר חלשה יותר וככל שמקדם המתאם רחוק מהאפס נאמר שעוצמת הקשר חזקה יותר. מקדם המתאם יסומן באות. r
46 כדי לחשב את מקדם המתאם, יש לחשב את סטיות התקן של כל משתנה ואת השונות המשותפת. ( x x )( y y) xy COV ( x, y) = = x y n n s n n ( x x) x = = x = = x n n שונות משותפת : שונות של המשתנה X: S n n ( y y) y = = Y = = y n n שונות המשתנה Y: r xy cov( x, y) = s s x y מקדם המתאם הלינארי :
47 תרגילים: להלן נתונים לגבי שישה תלמידים שנגשו למבחן. בדקו לגבי כל תלמיד את הציון שלו בסוף הקורס וכמו כן את מספר החיסורים שלו מהקורס.. מספר חיסורים 0 3 4 ציון 80 90 90 70 70 50 ג. שרטט דיאגראמת פיזור לנתונים. מה ניתן להסיק מהדיאגרמה על טיב הקשר ביו מספר החיסורים של תלמיד לציונו? מיהו המשתנה הבלתי תלוי ומיהו המשתנה התלוי? חשב את מדד הקשר של פירסון. האם התוצאה מתיישבת עם תשובתך לסעיף א'? הסבר ללא חישוב כיצד מקדם המתאם היה משתנה אם היה מתווסף תלמיד שהחסיר 4 פעמים וקיבל ציון 80? במחקר רפואי רצו לבדוק האם קיים קשר בין רמת ההורמון X בדם החולה לרמת ההורמון Y שלו. לצורך כך מדדו את רמת ההורמונים ההלו עבור חמישה חולים. להלן התוצאות שהתקבלו: x y 0 4 5 5 5 8 7 0 מה הממוצע של כל רמת הורמון? מהו מקדם המתאם בין ההורמונים? ומה משמעות התוצאה?.
48 3. נסמן ב- X את ההכנסה של משפחה באלפי. נסמן ב- Y את ההוצאות של משפחה באלפי. נלקחו 0 משפחות והתקבלו התוצאות הבאות: 0 = Y = 00 0 = X = 40 0 ( Y Y ) = 76 0 ( X X ) = 76 0 = ( X X )( Y Y ) = 60.8 חשב את מדד הקשר הלינארי בין X ל- Y. מיהו המשתנה התלוי? מה המשמעות של התוצאה שקיבלת בסעיף א? 0 = 0 = 4. נסמן ב- X את ההכנסה של משפחה באלפי. נסמן ב- Y את ההוצאות של משפחה באלפי. נלקחו 0 משפחות והתקבלו התוצאות הבאות: Y = 00 X = 40 0 = Y = 080 0 = X Y 0 = 464 X = 960 חשב את מדד הקשר הלינארי בין X ל- Y. 5. במוסד אקדמי ציון ההתאמה מחושב כך : מכפילים את הציון הממוצע בבגרות ב- 3 ומפחיתים נקודות. ידוע שעבור 40 מועמדים סטיית התקן של ממוצע הציון בבגרות הייתה. מה מקדם המתאם בין ציון ההתאמה לציון הממוצע בבגרות שלהם? ג. 6. להלן רשימת טענות, לגבי כל טענה קבע נכון/לא נכון ונמק! מתווך דירות המיר מחירי דירות מדולר לשקל. נניח שדולר אחד הוא. 3.5 אם מתווך הדירות יחשב את מדד הקשר של פירסון בין מחיר הדירה בשקלים למחיר הדירה בדולרים הוא יקבל. S X לסדרה של נתונים התקבל = 6 Y = S = X = Y לכן מדד הקשר של פירסון יהיה. אם השונות המשותפת של X ושל Y הינה 0 אז בהכרח גם מקדם המתאם של פירסון יהיה 0. שאלות אמריקאיות:
49 7. נמצא שקיים מקדם מתאם שלילי בין הציון בעברית לציון בחשבון בבחינה לכן : הדבר מעיד שהציונים בכתה היו שליליים. ככל שהציון של תלמיד יורד בחשבון יש לו נטייה לרדת בעברית. ג. ככל שהציון של תלמיד עולה בחשבון יש לו נטייה לרדת בעברית. ד. אף אחת מהתשובות לא נכונה. 8. נלקחו 0 מוצרים וניבדק ביום מסוים המחיר שלהם בדולרים והמחיר שלהם בש"ח ) באותו היום ערך הדולר היה - 4. ( מהו מקדם המתאם בין המחיר בדולר למחיר בש"ח? 0 ג. 4. ד. לא ניתן לדעת. 9. להלן דיאגראמת פיזור : 8 7 6 5 4 3 0 0 4 6 8 0 מה יהיה מקדם המתאם בין שני המשתנים? 0.85 0.5 ג. ד. 0
50 פתרונות: שאלה : בהקלטה 0.935- שאלה : x= 5.4 y= 6 r xy = 0.96 שאלה 3: א : 0.8 שאלה 4: 0.8 שאלה 5: שאלה 6: נכון לא נכון ג. נכון שאלה 7: התשובה: ג שאלה 8: התשובה: א שאלה 9: התשובה : ב
5 פרק - 0 מדדי קשר - רגרסיה ליניארית רקע: במידה וקיים קשר חזק בין שני המשתנים הכמותיים נהוג לבצע ניבויי. לבנות קו ניבויים הנקרא גם קו רגרסיה המנבא משתנה אחד על סמך האחר. מדובר בקו שמנבא את Y על סמך X. השיטה למציאת הקו הנ"ל נקראת שיטת הריבועים הפחותים והקו המתקבל נקרא קו הרגרסיה או קו הניבויים או קו הריבועים הפחותים. - a בעצם נותן את ערך Y כאשר X הנו אפס על גבי קו הניבויים. הוא ניקרא החותך של הקו. - b הוא שיפוע הקו נותן בכמה בעצם Y משתנה כאשר X גדל ביחידה אחת על גבי קו הניבויים. להלן המשוואות למציאת הפרמטרים של קו הרגרסיה: Yɶ = bx + a SY b= r S a= Y bx X אם נרצה לבנות קו ניבויים לניבוי X על סמך Y נצטרך לעדכן את הנוסחאות בהתאם.
5 תרגילים: נסמן ב- X את ההכנסה של משפחה באלפי. נסמן ב- Y את ההוצאות של משפחה באלפי. נלקחו 0 משפחות והתקבלו התוצאות הבאות: 0 = Y = 00 0 = X = 40. 0 ( Y Y ) = 76 0 ( X X ) = 76 0 = ( X X )( Y Y ) = 60.8 ג. חשב את מדד הקשר הלינארי בין X ל- Y. מיהו המשתנה התלוי? מצא את קו הרגרסיה לניבוי ההוצאה של משפחה על סמך הכנסה שלה. הסבר את משמעות הפרמטרים של קו הרגרסיה. משפחת כהן הכניסה, 5,000 מה ההוצאה הצפויה שלה? נסמן ב- X את ההשכלה של אדם בשנות למוד. נסמן ב- Y את הכנסתו באלפי. במחקר התקבלו התוצאות הבאות: S = Y 5 S = X. Y = 8 X =4 COV ( X, Y ) = 7.5 ג. חשב את מדד הקשר של פירסון בין ההשכלה להכנסה. מה ההכנסה הצפויה לאדם שהשכלתו שנים? מה ההשכלה הצפויה לאדם שהכנסתו? 0,000 ג. חוקר רצה לחקור את הקשר הקווי שבין הציון המבחן בסטטיסטיקה לבין מספר שעות ההכנה של הסטודנטים למבחן. במדגם של 00 סטודנטים שנבחנו בקורס נרשמו התוצאות הבאות : הציון הממוצע של הסטודנטים היה 65 עם סטיית תקן של 7. מספר שעות ההכנה הממוצע היה 30 עם סטיית תקן של 8. מקדם המתאם בין הציון לשעות ההכנה היה 0.8. על פי משוואת הרגרסיה שעת הכנה נוספת משפרת את ציון המבחן ב? על פי משוואת הרגרסיה תלמיד שייגש למבחן ללא שעות הכנה כלל יקבל ציון? מהו קו הרגרסייה לניבוי הציון לפי שעות ההכנה?.3 נתונים משתנים. Y,X כמו כן נתון : X ממוצע =,.5 שונות = X שונות = Y 4,וכן שקו הרגסיה של Y על בסיס X הינו + 0.5 0.X-. =Y חשב מהו מקדם המתאם בין X ל Y?.4
53 פתרונות: שאלה : 0.8 Yɶ = 0.8X + 0.4.4 ג. שאלה : 0.75 4.5 אלפי ש"ח ג. 4.6 שנים שאלה 3:. 9 ג. y=.x+9 שאלה 4: -0.
54 פרק - התפלגויות רציפות מיוחדות - התפלגות נורמלית רקע: התפלגות נורמלית הינה התפלגות של משתנה רציף. ישנם משתנים רציפים מסוימים שנהוג להתייחס אליהם כנורמליים כמו: זמן ייצור, משקל תינוק ביום היוולדו ועוד. פונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית נראית כמו פעמון: לעקומה זו קוראים גם עקומת גאוס ועקומה אחת נבדלת מהשנייה באמצעות הממוצע וסטיית התקן שלה. אלה הם הפרמטרים שמאפיינים את ההתפלגות. X N µ σ (, ) נוסחת פונקציית הצפיפות : f ( x µ ) σ ( x) = e πσ כדי לחשב הסתברויות בהתפלגות נורמלית יש לחשב את השטחים הרלבנטים שמתחת לעקומה. כדי לחשב שטחים אלה נמיר כל התפלגות נורמלית להתפלגות נורמלית סטנדרטית על ידי תהליך הנקרא תקנון. התפלגות נורמלית סטנדרטית היא התפלגות נורמלית שהממוצע שלה הוא אפס וסטיית התקן היא אחת והיא תסומן באות Z. תהליך התקנון מבוצע על ידי הנוסחה הבאה : אחרי תקנון מקבלים ערך הנקרא ציון תקן. ציון התקן משמעו בכמה סטיות תקן הערך סוטה מהממוצע. Z N(0, ) X µ Z = σ לאחר חישוב ציון התקן של ערך מסוים נעזרים בטבלה של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית לחישוב השטח הרצוי.
55 ובאופן כללי נתאר את הסכמה הבאה : X N µ σ (, ) Z N(0, ) X µ Z = σ שימוש בטבלה P Ф(a) -Ф(a) a Ф(-a)=- Ф (a) Ф(a) -a
56 טבלת ההתפלגות המצטברת הנורמלית סטנדרטית ערכי Φ(z) Φ(z) z z.00.0.0.03.04.05.06.07.08.09 0.0.5000.5040.5080.50.560.599.539.579.539.5359 0..5398.5438.5478.557.5557.5596.5636.5675.574.5753 0..5793.583.587.590.5948.5987.606.6064.603.64 0.3.679.67.655.693.633.6368.6406.6443.6480.657 0.4.6554.659.668.6664.6700.6736.677.6808.6844.6879 0.5.695.6950.6985.709.7054.7088.73.757.790.74 0.6.757.79.734.7357.7389.74.7454.7486.757.7549 0.7.7580.76.764.7673.7704.7734.7764.7794.783.785 0.8.788.790.7939.7967.7995.803.805.8078.806.833 0.9.859.886.8.838.864.889.835.8340.8365.8389.0.843.8438.846.8485.8508.853.8554.8577.8599.86..8643.8665.8686.8708.879.8749.8770.8790.880.8830..8849.8869.8888.8907.895.8944.896.8980.8997.905.3.903.9049.9066.908.9099.95.93.947.96.977.4.99.907.9.936.95.965.979.99.9306.939.5.933.9345.9357.9370.938.9394.9406.948.949.944.6.945.9463.9474.9484.9495.9505.955.955.9535.9545.7.9554.9564.9573.958.959.9599.9608.966.965.9633.8.964.9649.9656.9664.967.9678.9686.9693.9699.9706.9.973.979.976.973.9738.9744.9750.9756.976.9767.0.977.9778.9783.9788.9793.9798.9803.9808.98.987..98.986.9830.9834.9838.984.9846.9850.9854.9857..986.9864.9868.987.9875.9878.988.9884.9887.9890.3.9893.9896.9898.990.9904.9906.9909.99.993.996.4.998.990.99.995.997.999.993.993.9934.9936.5.9938.9940.994.9943.9945.9946.9948.9949.995.995.6.9953.9955.9956.9957.9959.9960.996.996.9963.9964.7.9965.9966.9967.9968.9969.9970.997.997.9973.9974.8.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9979.9980.998.9.998.998.998.9983.9984.9984.9985.9985.9986.9986 3.0.9987.9987.9987.9988.9988.9989.9989.9989.9990.9990 3..9990.999.999.999.999.999.999.999.9993.9993 3..9993.9993.9994.9994.9994.9994.9994.9995.9995.9995 3.3.9995.9995.9995.9996.9996.9996.9996.9996.9996.9997 3.4.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9998 z.8.645.960.36.576 3.090 3.9 3.89 4.47 Φ(z) 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999 0.9995 0.99995 0.999995
57 דוגמה: (הפתרון בהקלטה) גרם. ג. ד. משקל חפיסות שוקולד המיוצרות בחברה מתפלג נורמלית עם ממוצע 00 גרם בסטיית תקן של 8 מה אחוז חפיסות השוקולד ששוקלות מתחת ל- 0 גרם? מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מעל 0 גרם? מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מתחת ל 9 גרם? מהו המשקל ש 90% מהחפיסות בקו הייצור שוקלים פחות מהם?
58 תרגילים:. הגובה של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 70 ס"מ וסטית תקן של 0 ס"מ. מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל- 8.4 ס"מ.? מה אחוז האנשים שגובהם מעל 90 ס"מ? ג. מה אחוז האנשים שגובהם בדיוק 73.6 ס"מ? ד. מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל- 70 ס"מ? ה. מה אחוז האנשים שגובהם לכל היותר 70 ס"מ?. נתון שהזמן שלוקח לתרופה מסוימת להשפיע מתפלג נורמלית עם ממוצע של 30 דקות ושונות של 9 דקות רבועות. מהי פרופורציית המקרים בהן התרופה תעזור אחרי יותר משעה? מה אחוז מהמקרים שבהן התרופה תעזור בין 35 ל- 37 דקות? ג. מה הסיכוי שהתרופה תעזור בדיוק תוך 36 דקות? ד. מה שיעור המקרים שבהן ההשפעה של התרופה תסטה מ- 30 דקות בפחות מ- 3 דקות? המשקל של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 60 ק"ג וסטיית תקן של 8 ק"ג. מה אחוז האנשים שמשקלם נמוך מ- 55 ק"ג? מהי פרופורציית האנשים באוכלוסייה שמשקלם לפחות 50 ק"ג? מהי השכיחות היחסית של האנשים באוכלוסייה שמשקלם בין 60 ל- 70 ק"ג? ג. לאיזה חלק מהאוכלוסייה משקל הסוטה מהמשקל הממוצע בלא יותר מ- 4 ק"ג? ד. ה. מה הסיכוי שאדם אקראי ישקול מתחת ל 40 ק"ג?.3 4. משקל תינוקות ביום היוולדם מתפלג נורמלית עם ממוצע של 3300 מצאו את העשירון העליון. מצאו את האחוזון ה 95. ג. מצאו את העשירון התחתון. גרם וסטיית תקן 400 גרם.
59 ג. ד. 5. ציוני מבחן אינטיליגנציה מתפלג נורמלית עם ממוצע מה העשירון העליון של הציונים במבחן האינטיליגנציה? מה העשירון התחתון של ההתפלגות? מהו הציון ש- 0% מהנבחנים מקבלים מעליו? מהו האחוזון ה- 0? ה. מהו הציון ש- 5% מהנבחנים מקבלים מתחתיו? 00 ושונות. 5 6. נפח משקה בבקבוק מתפלג נורמלית עם סטיית תקן של 0 מ"ל, נתון ש 33% מהבקבוקים הם עם נפח שעולה על 508.8 מ"ל. מה ממוצע נפח משקה בבקבוק? 5% מהבקבוקים המיוצרים עם הנפח הגבוה ביותר נשלחים לבדיקה, החל מאיזה נפח שולחים בקבוק לבדיקה? ג. % מהבקבוקים עם הנפח הקטן ביותר נתרמים לצדקה, מהו הנפח המקסימלי לצדקה? 7. אורך חיים של מכשיר מתפלג נורמלית. ידוע שמחצית מהמכשירים חיים פחות מ- 500 שעות, כמו כן ידוע ש- 67% מהמכשירים חיים פחות מ- 544 שעות. מהו ממוצע אורך חיי מכשיר? מהי סטית בתקן של אורך חיי מכשיר? ג. מה הסיכוי שמכשיר אקראי יחיה פחות מ- 460 שעות? ד. מהו המאון העליון של אורח חיי מכשיר? ה. % מהמכשירים בעלי אורך החיים הקצר ביותר נשלח למעבדה לבדיקה מעמיקה. מהו אורך החיים המקסימלי לשליחת מכשיר למעבדה?
60 8. להלן שלוש התפלגויות נורמליות של שלוש קבוצות שונות ששורטטו באותה מערכת צירים. ההתפלגויות מוספרו כדי להבדיל בינהן. א.לאיזו התפלגות הממוצע הגבוה ביותר? במה מבין המדדים הבאים התפלגות ו זהות? בעשירון העליון. בממוצע. ג. ג. ד. בשונות. 3 ג. לאיזו התפלגות סטיית התקן הקטנה ביותר? אין לדעת. הזמן שלוקח לאדם להגיע לעבודתו מתפלג נורמלית עם ממוצע של 40 דקות וסטית תקן של 5 דקות. מה ההסתברות שמשך הנסיעה של האדם לעבודתו יהיה לפחות שלושת רבעי השעה? אדם יצא לעבודתו בשעה 08:0 מביתו. הוא צריך להגיע לעבודתו בשעה. 09:00 מה הסיכוי שיאחר לעבודתו? ג. אם ידוע שזמן נסיעתו לעבודה היה יותר משלושת רבעי השעה. מה ההסתברות שזמן הנסיעה הכולל יהיה פחות מ- 50 דקות? ד. מה הסיכוי שבשבוע (חמישה ימי עבודה ( בדיוק פעם אחת יהיה זמן הנסיעה לפחות שלושת רבעי השעה?.9
6 ההוצאה החודשית לבית אב בעיר "טרירה" מתפלגת נורמלית עם ממוצע של 000 דולר וסטית תקן של 300 דולר. בחרו באקראי 5 בתי אב. ההסתברות שלפחות אחד מהם מוציא בחודש מעל ל- T דולר היא. 0.98976 ג. מה ערכו של T? מה הסיכוי שההוצאה החודשית של בית אב בעיר תהיה לפחות סטיית תקן אחת מעל T? מסתבר שנפלה טעות בנתונים, ויש להוסיף 00 דולר להוצאות החודשית של כל בתי האב בעיר. לאור זאת, מה ההסתברות שההוצאה החודשית של בית אב נמוכה מ- 800 דולר?.0 אורך שיר אקראי המשודר ברדיו מתפלג נורמלית עם תוחלת של 3.5 דקות וסטיית תקן של שלושים שניות. מה ההסתברות שאורך של שיר אקראי המנוגן ברדיו יהיה בין 3 ל.5 דקות? מהו הטווח הבין רבעוני של אורך שיר המשודר ברדיו? ג. ביום מסוים מנוגנים 00 שירים ברדיו. כמה שירים מתוכם תצפה שיהיו באורך הנמוך מ 3.5 דקות? ד. בשעה מסוימת שודרו 8 שירים. מה ההסתברות שרבע מהם בדיוק היו ארוכים מ- 4 דקות והיתר לא?.
6 פתרונות : שאלה 89.5%.8% ג. 0 ד. 50% שאלה 3 6.43% 89.44% 39.44% ג. 0.383 ד. 00% ה. שאלה 5 9. 80.8.6 ג. 87.4 ד. שאלה 7 500 00 0.3446 ג. 733 ד. 67 ה. שאלה 8 3 בממוצע. ג. שאלה 9 0.587 0.08 0.8563 ג. 0.3975 ד. שאלה 0 95 0.66 0.587 ג. שאלה 0.359 0.675 00 ג. 0.5 ד.
63 פרק - התפלגות הדגימה התפלגות ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה בישוב מסוים: מספר המשפחות מספר מקלטים 0 500 500 3500 3 3000 4 500 סך הכול = 0000 N. נגדיר את x להיות מספר המקלטים של משפחה אקראית. בנו את פונקצית ההסתברות של x. חשבו את התוחלת, השונות וסטיית התקן של x. ג. אם נדגום 4 משפחות מהישוב מה תהיה התוחלת, מהי השונות ומהי סטיית התקן של ממוצע המדגם? אם נטיל קובייה פעמיים ונתבונן בממוצע התוצאות שיתקבלו, מה תהיה התוחלת ומה תהיה סטיית התקן של ממוצע זה?. משקל תינוק ביום היוולדו מתפלג נורמאלית עם ממוצע 3400 גרם וסטיית תקן של 400 גרם. מה ההסתברות שתינוק אקראי בעת הלידה ישקול פחות מ- 3800 גרם?.3 נתון שביום מסוים נולדו 4 תינוקות. ב.. ג. ד. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע שלהם יעלה על 4 ק"ג? מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה מתחת ל-.5 ק"ג? מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התינוקות יהיה רחוק מהתוחלת בלא יותר מ- 50 גרם?
64 הזמן הממוצע שלוקח לאדם להגיע לעבודתו 30 דקות עם שונות של 6 דקות רבועיות. האדם נוסע לעבודה במשך שבוע 5 פעמים. לצורך פתרון הניחו שזמן הנסיעה לעבודה מתפלג נורמאלית. מה ההסתברות שבמשך שבוע משך הנסיעה הממוצע יהיה מעל 33 דקות? מהו הזמן שבהסתברות של 90% ממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה פחות ממנו? ג. מה ההסתברות שממוצע משך הנסיעה השבועי יהיה מרוחק מ- 30 דקות בלפחות דקות?.4 נפח היין בבקבוק מתפלג נורמאלית עם תוחלת של 750 סמ"ק וסטיית תקן של 0 סמ"ק. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה בדיוק 755 סמ"ק? בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה יותר מ 755 סמ"ק? ג. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהנפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה לפחות 755 סמ"ק? ד. בקבוקיי היין שבארגז נמזגים לקערה עם קיבולת של שלושה ליטר. מה ההסתברות שהיין יגלוש מהקערה?.5 ג. משתנה מתפלג נורמאלית עם תוחלת 80 וסטיית תקן. 4 מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה כאשר גודל המדגם הוא 9? מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה שגודל המדגם הוא 6? הסבר את ההבדל בתשובות של שני הסעיפים..6
65 7. בקזינו ישנה רולטה. על הרולטה רשומים המס' הבאים כמוראה בשרטוט: אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה. בנו את פונקצית ההסתברות של סכום הזכייה במשחק בודד. מה התוחלת ומה השונות של סכום הזכייה? ג. אם האדם ישחק את המשחק 5 פעמים מה התוחלת ומה השונות של ממוצע סכום הזכייה בחמשת המשחקים? ד. אם האדם משחק את המשחק 50 פעם מה ההסתברות שבסה"כ יזכה ב- 050 ומעלה? לפי הערכות הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה השכר הממוצע במשק הוא 8000 עם סטיית תקן של. 3000 מה ההסתברות שבמדגם מקרי של 00 עובדים השכר הממוצע יהיה יותר מ-? 8500.8 מטילים קובייה 50 פעמים בכל פעם מתבוננים בתוצאה של הקובייה. מה ההסתברות שהממוצע של התוצאות יהיה לפחות 3.7 ב- 50 ההטלות?.9 0. אורך צינור שמפעל מייצר הינו עם ממוצע של 70 ס"מ וסטיית תקן של 0 ס"מ נלקחו באקראי 00 מוטות, מה ההסתברות שממוצע אורך המוטות יהיה בין 68 ל 78 ס"מ? יש לחבר בניינים באמצעות מוטות. המרחק בין שני הבניינים הינו 700 ס"מ. מה ההסתברות ש 00 המוטות יספיקו למלאכה? ג. מה צריך להיות גודל המדגם המינימאלי, כדי שבהסתברות של 5% ממוצע המדגם יהיה קטן מ- 69 ס"מ. העזר במשפט הגבול המרכזי.
66 התפלגות מספר ההצלחות במדגם ופרופורציות ההצלחות במדגם וקירוב נורמאלי להתפלגות הבינומית נתון ש- 0% מאוכלוסייה מסוימת אקדמאית. נבחרו באקראי 0 אנשים באותה אוכלוסייה. מה ההסתברות ששלושה מהם אקדמאים? מה ההסתברות שלכל היותר אחד מהם אקדמאי? ג. מה התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר האקדמאים במדגם?. ג. הסיכוי שמבוגר יחלה בשפעת בחורף מוערך ב- 0.4. נדגמו 30 מבוגרים אקראיים. חשבו את הסיכוי שבדיוק 5 יחלו בשפעת () לפי ההתפלגות הבינומית ; () לפי הקירוב הנורמאלי. חשבו את הסיכוי לכל היותר 4 יחלו בשפעת. חשבו את הסיכוי שלפחות יחלו בשפעת.. במפעל 0% מהמוצרים פגומים. נלקחו 00 מוצרים באקראי מקו הייצור. מה ההסתברות שנדגמו לכל היותר 6 מוצרים פגומים? מה ההסתברות שמספר המוצרים הפגומים יהיה לכל היותר במדגם? מה ההסתברות שיהיו בדיוק פגומים? ג..3 ציוני פסיכומטרי בקרב הנרשמים למוסד מסוים מתפלגים נורמאלית עם ממוצע 500 וסטיית תקן 00. למוסד מסוים הוחלט לקבל אך ורק סטודנטים שקיבלנו מעל 600 בפסיכומטרי. 00 סטודנטים אקראיים נרשמו למוסד. מה ההסתברות שלפחות 0 יתקבלו?.4 ג. במדינה יש 0% של אבטלה. נדגמו באקראי 40 אנשים מהמדינה. מה התוחלת ומהי השונות של פרופורציות המובטלים שנדגמו? מה ההסתברות שבמדגם לפחות 0% יהיו מובטלים? מה ההסתברות שלכל היותר 9% מהמדגם יהיו מובטלים?.5 נניח ש- 30% מהאוכלוסייה תומכת בהצעת חוק מסוימת. אם נדגום מהאוכלוסייה 00 איש. חשבו את ההסתברויות הבאות: לפחות 35% יתמכו בהצעת החוק במדגם. לכל היותר 5% יתמכו בהצעת החוק במדגם. ג. יותר מ 7% יתמכו בהצעת החוק במדגם..6
67 פתרונות: פרק א' - התפלגות ממוצע מדגם ומשפט הגבול המרכזי שאלה שאלה E( X ) = 3.5 σ ( X ) =.08 4 3 0 x 0.05 0.3 0.35 0.5 0.05 P(x) σ = 0.973σ = 0.9475 V ( X ) = 0.37 µ=.05 E( X ) =.05 ג. σ ( X ) = 0.487 שאלה 3 שאלה 4 0.0465 0.843 3.9 0.003 0.68 ג. 0 ג. ד. 0.974 שאלה 5 שאלה 6 0.5468 0 0.686 0.587 ג. 0.587 ד. 0.5
68 שאלה 7 שאלה 8 0.0475 30 0 0 0.5 0.5 0.5 P(x) התוחלת:.5 השונות: 68.75 ג. התוחלת:.5 השונות: 3.75 ד. 0.8997 שאלה 9 שאלה 0 0.977 0.08 7 ג. 0.84
69 פרק ב' - התפלגות מספר ההצלחות במדגם ופרופורציות ההצלחות במדגם וקירוב נורמאלי להתפלגות הבינומית שאלה שאלה 0.0794 () ; 0.0783 () 0.0 0.838 0.3758 0.73 ג. התוחלת: ג. סטיית התקן:.649 שאלה 3 שאלה 4 0.6 0. 0.695 0.4 ג. שאלה 5 שאלה 6 0.068 התוחלת: 0. 0.068 השונות: 0.00064 0.838 0.5 ג. ג. 0.3446
70 פרק - 3 אמידה נקודתית אומדים חסרי הטיה הציון במבחן מסוים של תלמידי כתה ח' הנו משתנה מקרי בעל תוחלת µוסטיית תקן 0. כדי לאמוד את התוחלת אומדים לתוחלת על סמך מדגם זה:. X,..., X 5 שלושה חוקרים הציעו - µ, נלקח מדגם של 5 ציונים. X +... + X 5 T = חוקר א' הציע: 5 X X + X 3 4 T = חוקר ב' הציע: X + X 3 T = חוקר ג' הציע: 3 א) איזה מן האומדים הוא חסר הטיה? ב) במדגם התקבלו הציונים הבאים: 00. 8, 58, 78, 65, חשבו את האומדנים המתקבלים עבור האומדים חסרי ההטיה. ג) איזה מבין שני האומדים חסרי ההטיה עדיף? נמקו. כדי לאמוד את המשקל הממוצע של הנשים בארה"ב, נבחר מדגם של n נשים. נסמן את שונות הגובה ב-. σ הוצעו שני אומדים לממוצע המשקל על סמך מדגם זה:. T = n n = X T = n n = X א) ב דקו לגבי כל אומד אם הוא בלתי מוטה. ב) איזה אומד עדיף? נמקו.,n X )B כלומר X הינו משתנה מקרי המתפלג בינומית עם פרמטר ) P סיכוי להצלחה p).3 בניסיון בודד) במדגם בגודל n. א) פתחו אומד חסר הטיה ל- P. ב) ג) מהו אומד חסר הטיה לסיכוי לכישלון בניסיון בודד. מהו אומד חסר הטיה ל-. E( X )
7 בתיק מניות שתי מניות. מספר המניות שיעלו ביום מסוים הוא משתנה מקרי התלוי בפרמטר פרמטר לא ידוע, θ. 0 θ פונקציית ההסתברות של X מספר המניות שיעלו ביום מסוים: θ θ P( X = 0) = θ P( X = ) = P( X = ) = 3 6.4 מ צאו אומד בלתי מוטה ל- θ שמתבסס על מספר המניות שיעלו ביום מסוים. מצאו אומד בלתי מוטה ל- θשמתבסס על מספר המניות שעלו ביום במשך שלושה ימים X, X, X 3 (לכל אחד מהם אותה התפלגות כנ"ל והם בלתי תלויים). בקרב המטפלות בת"א בפרמטר θבאופן הבא: מספר התינוקות שבטיפולן הוא הסיכוי שמטפלת תטפל בתינוק אחת בלבד הוא 3θ, הסיכוי שמטפלת תטפל ב תינוקות הסיכוי שמטפלת תטפל ב במדגם מיקרי של 4 מטפלות מת"א בשתים ואחת השלושה תינוקות. הוא, 4θ 3 תינוקות הוא θ. משתנה מיקרי בעל התפלגות התלויה, נמצא כי שתים מהם מטפלות בתינוק אחד בלבד, אחת מהן.5 ג. ד. ה. מצא אומד חסר הטיה לפרמטר θעל סמך תצפית בודדת. מצאו אומד חסר הטיה לפרמטר θעל סמך 4 תצפיות. מהו האומדן לפרמטר θ על סמך תוצאות המדגם. מצאו אומד חסר הטיה לסיכוי שלמטפלת בת"א תטפל בתינוק בודד אחד. מצאו אומדים חסרי הטיה לתוחלת ולשונות של מספר התינוקות בטיפול אצל מטפלת מת"
7 אומדי ניראות מכסימלית הסיכוי של שחקן לנצח במשחק א) ב) ג) בפעם הראשונה. נתון שהשחקן ניצח לראשונה רק במשחק השני. חשבו את פונקציית הנראות של p וציירו גרף שלה. מצאו אומדן נראות מכסימלית עבור p. מצאו אומדן נראות מכסימלית ל- הוא נאלץ לשחק 5 פעמים עד אשר ניצח. הוא p (לא ידוע). השחקן משחק במשחק עד אשר הוא מנצח p אם ביום אחד הוא נאלץ לשחק 4 פעמים וביום אחר. א) ב). מספר הלקוחות שנכנסים לחנות מסוימת, מתפלג פואסונית עם תוחלת שלλלקוחות ביום. מצאו אומד נראות מכסימלית ל- λעל סמך מספר הלקוחות שנכנסים ביום מסוים. מצאו אומד נראות מכסימלית ל- λ על סמך מספר הלקוחות שנכנסים ב- n ימים מסוימים. א) 3. הזמן שלוקח לאדם לחכות בתור מתפלג מעריכית עם פרמטר. λ דגמו 4 אנשים מקריים שחיכו בתור ומדדו את זמני ההמתנה שלהם. התוצאות שהתקבלו בדקות הן : 3,5 7, ו- 3. פתחו אומד נראות מכסימלית לפרמטר זה על סמך ב) מהו האומדן לפרמטר? n תצפיות כלשהן. משך זמן הכנת שיעורי הבית ב) ג) ד) א) (בשעות) של בני נוער ביום אחד מתפלג אחיד (θ,0)u. כדי לאמוד את θ, נשאלו ביום מסוים מספר בני נוער כמה שעות הם הכינו שעורי בית אלעד באותו יום. הכין ביום מסוים שעורי בית במשך שעה שלמה. חשבו את פונקצית הנראות של θ המתבססת על תצפית זו, וציירו את הגרף שלה. מצאו אומדן נראות מכסימלית ל- θ על סמך התצפית. משכי הכנת שיעורי בית (שעות) של 3 בני נוער היו,3,.5 θעל סמך המדגם הזה.. מצאו אומדן נראות מכסימלית ל- מצאו באופן כללי אומד נראות מכסימלית ל- θ על סמך מדגם של n בני נוער. X,..., X n.4
73 הגובה של אוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמאלית עם תוחלת ידועה של 70 ס"מ ושונות σלא ידועה. מצאו אומד נראות מכסימלית עבור השונות על סמך מדגם X,, X n של n תצפיות.5 מהאוכלוסייה. 74 65, 74, 8, 70 נדגמו 5 אנשים בלתי תלויים בעלי הגבהים:. מהו האומדן לשונות הגבהים באוכלוסייה? n בוX הוא פתחו אומדנראותמכסימלילפרמטר P בהתפלגותהבינומיתעלסמך מדגם בגודל.6 מספר ההצלחות במדגם. X הוא משתנה מקרי בעל פונקצית הצפיפות:.7 θ x xe x> θ, 0 f ( x) = 0, x 0. X,, X n : מצאו אומדנראותמכסימליתל- θעלסמךn תצפיות בלתי תלויות מצאואומדנראותמכסימליתל- θ בכד א 0 כדורים שחורים ו 0 לבנים בכד ב 5 כדורים שחורים ו- 5 לבנים. דוגמים באקראיכדוראךאינךיודעמאיזהכד. א) מצא אומדנראותמכסימלילכדשממנו הוצאהכדורעלסמךהצבעשלהכדור. ב) מהוהאומדןאםהצבעהואשחור?.8 הזמן שלוקח ליוסי לפתור תשבץ מתפלג מעריכית עם תוחלתלא ידועה. נתנו ליוסי לפתור חמישהתשבציםובממוצעלקחלו 3 דקותלפתוראותם. א) מהאומדןהנראות המכסימלילתוחלתזמןהפתרוןשלתשבץעלידייוסי (איןחובהלפתח). ב) מהאומדןהנראותהמכסימלילסיכוי שייקחלולפחותחצישעהלפתוראתהתשבץהבא?.9
74 0. מספר הלקוחות הממתינים בתור במוקד טלפוני הוא משתנה מיקרי X בעל התפלגות התלויה בפרמטר θבאופן הבא: 4θ + 4θ 4θ 8θ 0 4θ X P(X) בחמישה זמנים שונים שנבחרו באקראי נמצאו: 0, 0, 0, 0, לקוחות ממתינים בתור. א) ב) מצאו אומדן בשיטת הנראות המכסימלית עבור הפרמטר θ על-סמך המדגם הנתון. מצאו אומדן בשיטת הנראות המכסימלית לסיכוי שלא יהיו לקוחות בתור.. אדם מחזיק בידו שני מטבעות : מטבע הוגן ומטבע שאינו הוגן שהסיכוי בו לתוצאה עץ הוא 0.. האדם מטיל את אחד המטבעות פעמיים ומודיע לך כמה פעמים הוא קיבל עץ. אתה צריך לנחש איזה מטבע הוא הטיל : את ההוגן או זה שאינו הוגן. א) מצא אומד בשיטת הנראות המכסימאלית לסוג המטבע שהוטל. ב) מהו האומדן אם האדם קיבל פעמיים עץ?. מעונייניםלאמודאת אחוזהמובטליםבאוכלוסייה. דוגמים 50 אנשיםאקראייםומתקבל 4 מהםמובטלים. א) מצאאומדן נראותמכסימלית לשיעורהמובטליםבאוכלוסייה. ב) מצא אומדןלשיעורהעובדיםבאוכלוסייה. ג) מצאאומדןליחסביןשיעורהעובדים לשיעורהמובטליםבאוכלוסייה. ש
75 ג. שאלות מסכמות לאומדים חסרי הטיה ונראות מכסימלית במפעל מייצרים מוצרים בשלוש מכונות שונות ובלתי תלויות. במכונה הראשונה הסיכוי שמוצר יהיה תקין הוא, P במכונה השנייה ההסתברות שמוצר יהיה תקין הוא הסיכוי הוא א) ב) ג) P ובמכונה השלישית. P דוגמים 0 מוצרים מכל מכונה. נסמן ב- X את מספר המוצרים התקינים שיוצרו במכונה א. נסמן ב- Y את מספר המוצרים התקינים שיוצרו במכונה השנייה וב- Z את מספר המוצרים התקינים שיוצרו במכונה השלישית. מהם הערכים האפשריים של הפרמטר P. מצאו אומד בלתי מוטה עבור הפרמטר P על סמך X ו- Z. אם התקבל ש- P. מהו אומדן נראות מכסימלית ל- 6=X, 3=Y. א) ב) ג) מספר תאונות הדרכים בקטע כביש א' מתפלג פואסונית עם קצב שלλתאונות בחודש. מספר תאונות הדרכים בקטע כביש ב' מתפלג פואסונית עם קצב של λ תאונות בחודש. הוחלט לספור את מספר התאונות בחודש בכל אחד מקטעי הכביש. נסמן ב- X את מספר התאונות בחודש בקטע א' ו ב- Y בקטע ב'. מצאו אומד נראות מכסימלי לפרמטרλעל סמך X ו- Y. מצאו אומד נראות מכסימלי לסיכוי שבקטע כביש א תהיה לפחות תאונה אחת בחודש? האם האומד שמצאת בסעיף א הוא חסר הטיה ל- λ?. זמן הייצור של מוצר מסוים בתהליך ייצור מתפלג נורמאלית עם תוחלת ושונות שאינן ידועות. א) הציעו אומדים חסרי הטיה לתוחלת והשונות של זמן הייצור של המוצר. ב) הציעו אומדי נראות מכסימלי לתוחלת ולשונות של זמן הייצור של המוצר. הציעו אומד נראות מכסימלי לריבוע התוחלת של זמן הייצור. ג) האם האומד מהסעיף הקודם הוא גם חסר הטיה? ד).3
76 בקזינו משחק בו 4 תאים ממוספרים מ עד. 4 מפעיל המשחק שם כסף באחד מארבעת התאים והאדם המשתתף צריך לנחש באיזה תא הכסף מוחב מפעיל הקזינו מודיע שהסיכוי להחביא את הכסף בכל אחד משלושת התאים הראשונים שווה אך לא בהכרח שווה לסיכוי להחביא אותו בתא הרביעי. יש לאמוד את הסיכוי להחביא את הכסף בתא הראשון: P. א) מצא את תחום ההגדרה של הפרמטר P..4 יעל שיחקה את המשחק 3 האחרות בתא מספר. פעמים וקיבלה שפעם אחת הכסף הוחבא בתא מספר ובפעמים ב) ג) ד) מצאו אומדן ל- P על סמך התוצאות הללו בשיטת הנראות המכסימלית. מצאו אומד חסר הטיה ל- P מהו האומדן לפי התוצאות של יעל? מצאו אומדן חסר הטיה ונראות מכסימלית לסיכוי שהכסף יוחבא בתא מספר 4 על סמך התוצאות של יעל.
77 ד. קריטריון - MSE תוחלת ריבוע הטעות מעוניינים לאמוד את התוחלת של התפלגות מסוימת. מוצעים שני אומדים אפשריים ממוצע של שתי תצפיות וממוצע של שלוש תצפיות. לפי קריטריון תוחלת ריבוע הטעות (MSE) איזה אומד עדיף? הסבירו.. ג. בעיר מסוימת בשוויץ בכל θ דקות רכבת מגיעה לתחנה מסוימת. דוד מגיע לתחנה בזמן אקראי ומודד את זמן ההמתנה לרכבת X. הצע אומד חסר הטיה ל- θעל סמך X. סטטיסטיקאי הציע לאמוד את θעל סמך האומד:.5X האם האומד הנ"ל מוטה? איזה אומד מבין האומדים של סעיף א או ב עדיף?. חוקר מעוניין לאמוד את הסיכוי לחלות במחלת השפעת בחורף ) להלן הפרמטר P). הוא דוגם חמישה אנשים בריאים ומתבונן בסטטיסטי X מספר האנשים שחלו בשפעת בחורף. הוא מתלבט X + X בין שני אומדים : = T ו- = T 7 5 מי מבין האומדים הללו הוא חסר הטיה? מי מבין האומדים עדיף אם 0.5=P? ג. מי מבין האומדים עדיף אם 0.=P?.3
78 תשובות סופיות - אמידה נקודתית פרק א' - תשובות לאומדים חסרי הטייה שאלה ה. שאלה 3 x n x n x T T T = 0 T = 76.6 ו. ז. ג. שאלה 5 x T שאלה 4 3x ג. 0.5 3x ה. לשונות 0.97
79 פרק ב' - תשובות לאומדי נראות מכסימלית שאלה X X שאלה 0.5 שאלה 4 3 ג. 9 שאלה 3 X ג. X max ד. שאלה 6 x n n = 9 שאלה 5 ( x 70) n 40. שאלה 8 שאלה 7 n X כד א שאלה 0 0.45 0.8 n ( ) X שאלה 9 3 שאלה.5 0.08 0.9 0.396 שאלה הוגן ג.
80 פרק ג' - תשובות לשאלות המסכמות לאומדים חסרי הטיה ונראות מכסימלית. שאלה שאלה x+ y 3 ג. כן 0.5 P ג. 0.345 שאלה 4 0 P 3 3 ג. 0.389 פרק ד' - תשובות ל- MSE שאלה זה עם השלוש תצפיות שאלה 3 שאלה x ג. סעיף ב T T T ג.
8 נספח : אומדי נראות מכסימלית ואומדים חסרי הטיה בהתפלגויות השונות מודל בינומי. X ~ B( n, נתון מדגם של משתנה בינומי (p X ˆp והוא גם א.ח.ה א.נ.מ עבור p הוא = n מודל אחיד (בדיד) X, X של משתנים אחידים N) X ~ U(, בלתי-תלויים בזוגות.,..., הוא },..., X N ˆ = max{ ואינו א.ח.ה X n X n N נתון מדגם א.נ.מ עבור מודל פואסוני X בלתי-תלויים בזוגות. ~ P( λ) של משתנים פואסוניים X, X,..., X n נתון מדגם λוגם א.ח.ה א.נ.מ עבור λ הוא = X X בלתי-תלויים ~ G( p) X והנו p נתון מדגם בזוגות. מודל גיאומטרי X, X של משתנים גיאומטריים,..., X X n א.נ.מ עבור p א.ח.ה. הוא = ˆp אינו א.ח.ה. וא.נ.מ עבור התוחלת הוא
8 ( ) מודל נורמלי X בלתי-תלויים ~ N µ, σ של משתנים נורמליים X, X,..., X n נתון מדגם בזוגות. א.נ.מ עבור µ הוא µ = X n (אומד חסר-הטייה) σ = ( X µ כאשר µידוע א.נ.מ עבור σ הוא ) = σ (אומד מוטה!!!) n = n ( X X) n = כאשר µ לא-ידוע א.נ.מ עבור σ הוא σ אומד חסר-הטיה עבור σ: n = n = ( X µ ) כאשר µידוע. S = n n ( X X) = כאשר µ לא-ידוע מודל מעריכי X בלתי-תלויים בזוגות. ~ expθ ( ) של משתנים מעריכיים X, X,..., X n נתון מדגם θ -מהווה אומד מוטה. וא.נ.מ עבור התוחלת הוא א.נ.מ עבור θ הוא = θ X אX.ח.ה. 0,θ) X ~ U( בלתי-תלויים בזוגות. נתון מדגם מודל אחיד (רציף),..., X, X של משתנים אחידים θאינו א.ח.ה = max{ X,..., X n הוא } X n θ א.נ.מ עבור א ח.ה. עבור µ הוא בכל התפלגות: µ = X σ אומד חסר-הטיה עבור σ: n = n = ( X µ ) כאשר µידוע. S = n n ( X X) = כאשר µ לא-ידוע
83 פרק - 4 רווחי סמך אמידה נקודתית (אומדים חסרי הטיה ( נדגמו עשרה מתגייסים לצה"ל. גובהם נמדד בס"מ. להלן התוצאות שהתקבלו: 77,68,87,77,80,7,9,84,68 ו- 75. מצא אומדן חסר הטיה לגובה הממוצע של מתגייסי צה"ל. מצא אומדן חסר הטיה לשונות הגבהים של מתגייסי צה"ל. ג. מצא אומדן חסר הטיה לפרופורציות המתגייסים בגובה של לפחות 80 ס"מ.. נדגמו 0 שכירים באקראי. עבור כל שכיר נמדד השכר באלפי שקלים. להלן. 0 = X = 50. 0 = התוצאות שהתקבלו: = 6 X. אמדו את השכר הממוצע של השכירים במשק. אמדו את סטיית התקן של שכר השכירים במשק. רווח סמך לתוחלת. שונות האוכלוסיה ידועה מעוניינים לאמוד את ממוצע אורך החיים של מכשיר. מנתוני היצרן ידוע שאורך החיים מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן של 0 שעות. נדגמו 5 מכשירים ונמצא כי ממוצע אורך החיים שלהם היה 30 שעות. בנו רווח סמך ברמת סמך של 90% לאורך החיים הממוצע של מכשיר. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לאורך החיים הממוצע של מכשיר. ג. הסבר כיצד ומדוע השתנה רווח הסמך. ד. מהי טעות התקן של האומד?. בנו רווח סמך לממוצע הציונים של מבחן אינטליגנציה. ידוע שסטיית התקן היא 5 והמדגם מתבסס על 00 תצפיות. רווח הסמך שהתקבל הוא (99,05). שחזרו את : ממוצע המדגם. שגיאת האמידה המקסימאלית. ג. רמת הסמך..
84 מעוניינים לאמוד את המשקל הממוצע של רכיב מסוים. ידוע שהמשקל מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן. מהו גודל המדגם המינימאלי שיש לקחת אם מעוניינים ששגיאת האמידה המקסימאלית תהיה גרם ברמת סמך של 95%. ביצעו מדגם שאת גודלו מצאתם בסעיף א והתקבל ממוצע של 3 גרם. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% למשקל הממוצע של הרכי.3 זמן החלמה מאנגינה מתפלג עם סטיית תקן של יומיים. חברת תרופות מעוניינת לחקור אנטיביוטיקה חדשה שהיא פיתחה. במחקר השתתפו 60 אנשים שחלו באנגינה וקיבלו את האנטיביוטיקה החדשה. בממוצע הם החלימו לאחר 4 ימים. בנו רווח סמך לתוחלת זמן ההחלמה תחת האנטיביוטיקה החדשה ברמת סמך של 90%. מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היה תקציב להגדלת גודל המדגם פי 4? הסבירו. ג. מה היה קורה לאורך רווח הסמך אם היינו בונים את רווח הסמך ברמת סמך גדולה יותר? הסבירו..4 משתנה מקרי מתפלג נורמאלית עם סטיית תקן ידועה. מה צריך להיות גודל המדגם כדי לבנות רווח סמך ברמת סמך של 98% שאורכו לא יעלה על?.5. שונות האוכלוסיה לא ידועה זמן התגובה מתפלג נורמאלית. במטרה לאמוד את תוחלת זמן התגובה נדגמו 4 תצפיות. להלן התוצאות בשניות: 4.7,5.,4.6,5.3. בנו רווח סמך ברמת סמך של 95% לממוצע זמן התגובה באוכלוסיה.. ציוני מבחן אינטליגנציה מתפלגים נורמאלית. נדגמו 5 מבחנים והתקבל ממוצע ציונים 0 ו סטיית תקן מדגמית 3. ג. בנו רווח סמך לממוצע הציונים באוכלוסיה ברמת ביטחון של 95%. חזרו על סעיף א' אם סטיית התקן הנתונה היא סטיית התקן האמיתית של כלל הנבחנים. הסבירו את ההבדלים בין שני הסעיפים הנ"ל..